UNIDAD 3
UNIDAD III.
INTRODUCCIÓN AL CALCULO.
El cálculo es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de la variación y del movimiento. Permite observar y describir la realidad en términos dinámicos y se emplea en diversos campos tales como la física, la ingeniería, la economía o la estadística.
Su desarrollo como disciplina moderna surgió en el s. XVII y se atribuye a dos grandes matemáticos: Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Hasta entonces, las matemáticas tradicionales aportaban una visión estática de los diferentes elementos de la realidad a través de operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división): la innovación del cálculo radica en la incorporación de operaciones que permiten estudiar el movimiento o crecimiento de un elemento en el que actúan fuerzas de aceleración. Por ejemplo, sirve como herramienta para conocer y predecir las órbitas de los planetas y de los satélites, las corrientes marinas, la dinámica de la atmósfera o incluso el comportamiento de factores económicos, sociológicos o psicológicos.
3.1 La derivada.
La derivada es una herramienta matemática para ello. Isaac Newton desarrolló los principios del cálculo diferencial en su obra Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum (1671). En ese trabajo, da los pasos precisos alrededor de los conceptos de función y de límite, que le permiten plantear matemáticamente cuando las cantidades varían infinitesimalmente y, de esta forma, describir el movimiento de un punto que traza una curva, situación que expresa de la siguiente forma:
Por última proporción de cantidades evanescentes debemos entender el cociente de estas cantidades, no antes de que desvanezcan, ni después, pero tal como se van desvaneciendo. La parte infinitesimal pequeña en la que un fluente se incrementa por unidad de tiempo cero es el momento del fluente.
3.2 Derivación de funciones algebraicas.
La derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la derivada de cada uno de los sumandos respetando sus signos. ... La derivada de un cociente de funciones es igual a el denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador todo entre el denominador al cuadrado.
Definimos la derivada de una función como la pendiente de la recta tangente a la función en un punto dado.
Una función algebraica es aquella cuya variable "Y" se adquiere combinando un número finito de veces la variable "X" y constantes reales a partir de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.
FORMULAS
La derivada de una constante
Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante es cero. Veamos un ejemplo.
La derivada de una potencia entera positiva
Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1, entonces:
Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5, aún no podemos derivar la función porque no sabemos cual es la regla para derivar ese tipo de expresión.
La derivada de una constante por una función.
Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la constante por la derivada de la función, o cf'(x), por ejemplo:>
f(x)= 3x5
f '(x)=
3(5x4) = 15x4
La derivada de una suma
Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:
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f(x)= 2x3 + x f '(x)= 6x2 + 1 |
La derivada de un producto
Aún no hemos dicho cual es la regla para derivar un producto de funciones, la regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".
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f(x)= (4x +
1)(10x2 - 5) f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5) |
La derivada de un cociente
Ahora daremos la regla para la derivada de un cociente.
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Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado.
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Las derivadas de las funciones trigonométricas
Ahora daremos las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.
3.3 Aplicaciones de la derivada.
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.
Así, las derivadas son esenciales para estudios tan importantes como el de la relatividad, la mecánica cuántica, la ingeniería, ecuaciones diferenciales, teoría de las probabilidades, sistemas dinámicos, teoría de las funciones, etc. Actualmente también son necesarios en la computación, etc.
La derivada permite estudiar existencia de los puntos de inflexión. Un punto de inflexión de una función es el lugar de su dominio en donde cambia de curvatura, donde cambia de concavo a convexo o viceversa. En un punto de inflexión, la tangente atraviesa la gráfica de la función.
3.4 Integración.
La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua. La integral es la operación inversa a la diferencial de una función.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Leibniz y Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
3.5 La integral definida como suma.