UNIDAD 2

 

2.1 Sistema rectangular de coordenadas

cartesianas.

 

Un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares se encuentra formado por dos líneas rectas, una recta horizontal y otra recta vertical.

 

El lugar en donde se unen ambas rectas se le llama origen, y como veremos más adelante tiene las coordenadas (0,0).

2.2 Abscisa y ordenada de un punto.

A la recta horizontal le llamamos el eje de las abscisas o eje de las X.

A la recta vertical le llamamos el eje de las ordenadas o eje de las Y.

 

Localización de Puntos en el Plano

Para localizar un punto en el Plano, es necesario contar con las coordenadas del punto, mismos que son representados de la siguiente forma:

(Coordenada en el eje X, Coordenada en el eje Y)

Coordenada en el Eje de las abscisas o eje de las X

Los valores de X serán negativos si se encuentran a la izquierda del origen, y aquellos que se encuentren a la derecha del origen serán positivos.

Coordenada en el Eje de las ordenadas o eje de las Y

Los valores de Y serán negativos si se encuentran  abajo del origen, y aquellos que se encuentren arriba del origen serán positivos.

Ejemplo 1.

Ubicar el punto A ( 4, -2 ).

Observando que

(Coordenada en el eje X, Coordenada en el eje Y)

A ( 4, -2 )

Por lo tanto, el valor en el eje X es 4 (al ser positivo va a la derecha del origen), y el valor en el eje Y es -2 (al ser negativo va abajo del origen).

Ejemplo 2.

Ubicar el punto B ( -2, -1 ).

Observando que

(Coordenada en el eje X, Coordenada en el eje Y)

B ( -2, -1 )

Por lo tanto, el valor en el eje X es -2 (al ser negativo va a la izquierda del origen), y el valor en el eje Y es -1 (al ser negativo va abajo del origen).

Ejemplo 3.

Ubicar el punto C ( 5, 3 ).

Observando que

(Coordenada en el eje X, Coordenada en el eje Y)

C ( 5, 3 )

Por lo tanto, el valor en el eje X es 5 (al ser positivo va a la derecha del origen), y el valor en el eje Y es 3 (al ser positivo va arriba del origen).

Ejemplo 4.

Ubicar el punto D ( -1, 2 ).

Observando que

(Coordenada en el eje X, Coordenada en el eje Y)

D ( -1, 2 )

Por lo tanto, el valor en el eje X es -1 (al ser negativo va a la izquierda del origen), y el valor en el eje Y es 2 (al ser positivo va arriba del origen).

 

2.3 Signo de las coordenadas.

 

Signos de los cuadrantes La siguiente es una lista en la que se exponen los signos de cada cuadrante y su ubicación en el plano cartesiano:

Primer cuadrante

El primer cuadrante es aquel en el que tanto el eje de las abscisas como el eje de las ordenadas tienen un signo positivo, este cuadrante se ubica en la región superior derecha del plano cartesiano.

Segundo cuadrante

El segundo cuadrante es aquel en el que el eje de las abscisas tiene un signo negativo, sin embargo, el eje de las ordenadas se encuentra en posesión de un signo positivo, la ubicación de este cuadrante es la región superior izquierda del plano cartesiano.

Tercer cuadrante El tercer cuadrante es aquel en el que tanto el eje de las abscisas como el eje de las ordenadas tienen un signo negativo, el tercer cuadrante se ubica en la región inferior izquierda del plano cartesiano.

Cuarto cuadrante El cuarto cuadrante es aquel en el que el eje de las abscisas está en posesión de un signo positivo, sin embargo, el eje de las ordenadas tiene un signo negativo, este cuadrante se ubica en la región inferior derecha del plano cartesiano. El uso de los diferentes cuadrantes del plano cartesiano ha permitido hacer una ubicación precisa de los puntos en dos dimensiones, esta invención de René Descartes sigue siendo utilizada a día de hoy gracias a las muchas utilidades que tiene.

 

Está conformado por un total de cuatro cuadrantes, los cuadrantes son los sectores en los que se divide el plano cartesiano debido a que las dos rectas numéricas que lo conforman están perpendiculares entre sí y realizan un ángulo recto, es decir, uno equivalente a los noventa grados.

2.4 Determinación de un punto por sus

coordenadas.

2.5 Papel cuadriculado.

Word incluye una cuadrícula por defecto. Basta con ir a la pestaña Vista y marcar la opción Líneas de la cuadrícula. Pero en una hoja estándar los cuadros quedan cortados en un lateral, y no se puede cambiar su tamaño:

Pon en marcha Word y abre una hoja en blanco.

Lo primero que tenemos que decidir es el número y tamaño de los recuadros. Entramos en el menú Vista y comprobamos que está marcada la opción Regla, para poder ver la regla que nos indica las dimensiones de la página:

 

En este ejemplo vemos cómo tenemos definidos unos márgenes de 3 centímetros, y la zona de trabajo mide 15 centímetros. Esto significa que podemos poner 15 recuadros de 1 centímetro, o 30 recuadros de 0,5 centímetros, por ejemplo. También podemos cambiar el tamaño de los márgenes, o quitarlos. Para ello vamos a la pestaña Formato, tocamos en el icono Márgenes, y elegimos lo que nos interesa. Con Márgenes personalizados, podemos definir los centímetros en blanco en los cuatro lados de la página.

Para nuestro ejemplo partimos de la imagen anterior: tenemos 15 centímetros de papel usable, así que vamos a crear 15 rectángulos de 1 centímetro, que van a llenar toda la hoja.

Tocamos en la pestaña Insertar y pulsamos en Tabla. En la ventana que aparece, pinchamos en Insertar Tabla. Una nueva ventana nos va a permitir personalizarla:

En Número de columnas escribimos 15, que se corresponde con el número de recuadros que queremos poner. En Número de filas las que queramos, pero habrá que poner unas 50 para llenar toda la hoja. En Ancho de columna fijo quitamos el valor Automático y con las flechas seleccionamos 1 centímetro. Por último marcamos Recordar dimensiones para tablas nuevas, si queremos volver a usar esta cuadrícula en el futuro. Como vemos aparecen 15 recuadros, no están recortados a la derecha y llenan toda la página (menos los márgenes de 3 centímetros que hemos puesto):

Podemos añadir más recuadros simplemente estirando hacia abajo el punto que hay en la esquina inferior derecha de la cuadrícula:

 

Es posible que, al rellenar la cuadrícula, notemos que los recuadros resaltan demasiado. Podemos hacerlos más suaves, para que no se vean tanto. 

Pinchamos en la tabla para que quede seleccionada, y arriba veremos un nuevo grupo de pestañas llamado Herramientas de Tabla, con dos opciones Diseño y Presentación. Pulsamos en Diseño y luego en el icono Bordes: 

Dentro de Bordes, elegimos Bordes y sombreado. Aquí podemos cambiar el grosor y el color de las líneas de la cuadrícula para hacerla más fina:

2.6 Gráfico de una función.

En ciencias, ingeniería, tecnología, finanzas y otras áreas, los gráficos son herramientas utilizadas para muchos propósitos. En el caso más simple, una variable se traza como una función de otra, generalmente utilizando ejes rectangulares.

 

Un diagrama es una técnica gráfica para representar un conjunto de datos, generalmente como un gráfico que muestra la relación entre dos o más variables. La trama se puede dibujar a mano o mediante un trazador mecánico o electrónico. Los gráficos son una representación visual de la relación entre variables, muy útil para los humanos que pueden obtener rápidamente una comprensión que no provendría de las listas de valores. Los gráficos también se pueden usar para leer el valor de una variable desconocida graficada en función de una conocida. Los gráficos de funciones se usan en matemáticas, ciencias, ingeniería, tecnología, finanzas y otras áreas.

En la base moderna de las matemáticas conocida como teoría de conjuntos, una función y su gráfica son esencialmente la misma cosa.

En matemáticas, la gráfica de una función f es la colección de todos los pares ordenados (x, f (x)). Si la entrada de función x es un escalar, el gráfico es un gráfico bidimensional, y para una función continua es una curva. Si la entrada de función x es un par ordenado (x1, x2) de números reales, el gráfico es la colección de todas las tripletas ordenadas (x1, x2, f (x1, x2)), y para una función continua es una superficie.

Informalmente, si x es un número real yf es una función real, el gráfico puede significar la representación gráfica de esta colección, en forma de un gráfico de líneas: una curva en un plano cartesiano, junto con ejes cartesianos, etc. Graficando en una El plano cartesiano a veces se denomina bosquejo de curvas. El gráfico de una función en números reales se puede asignar directamente a la representación gráfica de la función. Para las funciones generales, no se puede encontrar necesariamente una representación gráfica y la definición formal del gráfico de una función se adapta a la necesidad de enunciados matemáticos, por ejemplo, el teorema del gráfico cerrado en el análisis funcional.

El concepto de la gráfica de una función se generaliza al gráfico de una relación. Tenga en cuenta que aunque una función siempre se identifica con su gráfico, no son lo mismo porque sucederá que dos funciones con un codominio diferente podrían tener el mismo gráfico. Por ejemplo, el polinomio cúbico mencionado a continuación es una superación si su codominio son los números reales, pero no lo es si su codominio es el campo complejo.

Para probar si un gráfico de una curva es una función de x, uno usa la prueba de línea vertical. Para probar si un gráfico de una curva es una función de y, uno usa la prueba de línea horizontal. Si la función tiene una inversa, la gráfica de la inversa se puede encontrar al reflejar la gráfica de la función original sobre la línea y = x.

2.7 Representación Gráfica de la función lineal

de primer grado.

 

2.8 Gráficos de algunas funciones de segundo

grado.

 

2.9 Utilidad de los gráficos.

Los gráficos se utilizan para ilustrar y presentar un conjunto de datos relacionados entre sí, de manera que facilite su comprensión, comparación y análisis.

Los gráficos se utilizan para ilustrar y presentar un conjunto de datos relacionados entre sí, de manera que facilite su comprensión, comparación y análisis.

 

Características:

 

- Las representaciones gráficas nos permiten conocer, analizar y comparar visual y rápidamente datos sobre la evolución de una o varias magnitudes, a lo largo del tiempo, en uno o en distintos lugares.

 

- Facilitan la comprensión de los hechos y las relaciones que existen entre ellos.

 

- Las representaciones se realizan en forma proporcionada.

 

 

 

Según las características y la cantidad de datos, conviene utilizar uno u otro gráfico.

 

Tipos de gráficos

 

Pueden existir distintos tipos de gráficos, cada uno de los cuales nos ayudará en menor o mayor medida a visualizar la información que es estudiada. En esta oportunidad hablaremos de los gráficos lineales.

 

 

 

a) Gráficos lineales

 

- Se utilizan, generalmente, para representar la evolución de una o más variables a lo largo del tiempo.

 

- Permiten un análisis visual de los datos y nos facilitan las comparaciones entre las distintas variables representadas.

 

- Sobre un eje cartesiano (x: horizontal e Y: vertical) iremos trasladando los datos o valores de la(s) variable (s) que vamos a analizar.

 

- En el eje X se representa el tiempo; en el eje Y, los valores.

 

- Se señalan los puntos. A cada período de tiempo le corresponde un punto en el valor de su frecuencia.

 

- Se unen mediante segmentos lineales los puntos consecutivos.

También existen:

 

b) Diagramas de barras

 

C) Gráficos de sectores o ciclogramas

 

d) Pictogramas

 

e) Histogramas

2.10 Estadística.

 

La estadística (la forma femenina del término alemán Statistik, derivado a su vez del italiano statista, "hombre de Estado"),1 es la rama de las matemáticas que estudia la variabilidad, colección, organización, análisis, interpretación, y presentación de los datos, así como el proceso aleatorio que los genera siguiendo las leyes de la probabilidad.

 

Como parte de la matemática, la estadística es una ciencia formal deductiva, con un conocimiento propio, dinámico y en continuo desarrollo obtenido a través del método científico formal. En ocasiones, las ciencias fácticas necesitan utilizar técnicas estadísticas durante su proceso de investigación factual, con el fin de obtener nuevos conocimientos basados en la experimentación y en la observación. En estos casos, la aplicación de la estadística permite el análisis de datos provenientes de una muestra representativa, que busca explicar las correlaciones y dependencias de un fenómeno físico o natural, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional.

La estadística es útil para una amplia variedad de ciencias fácticas, desde la física hasta las ciencias sociales, desde las ciencias de la salud hasta el control de calidad. Además, se usa en áreas de negocios o instituciones gubernamentales con el objetivo de describir el conjunto de datos obtenidos para la toma de decisiones, o bien para realizar generalizaciones sobre las características observadas.

 

En la actualidad, la estadística aplicada a las ciencias fácticas permite estudiar una determinada población a partir de la recopilación de información, el análisis de datos y la interpretación de resultados. Del mismo modo, también es una ciencia esencial para el estudio cuantitativo de los fenómenos de masa o colectivos.

La estadística se divide en dos grandes áreas:

Estadística descriptiva: Se dedica a la descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Su objetivo es organizar y describir las características sobre un conjunto de datos con el propósito de facilitar su aplicación, generalmente con el apoyo de gráficas, tablas o medidas numéricas.

 

Ejemplos básicos de parámetros estadísticos son: la media y la desviación estándar.

Ejemplos gráficos son: histograma, pirámide poblacional, gráfico circular, entre otros.

Estadística inferencial: Se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas sí/no (prueba de hipótesis), estimaciones de unas características numéricas (estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen análisis de varianza, series de tiempo y minería de datos. Su objetivo es obtener conclusiones útiles para lograr hacer deducciones acerca de la totalidad de todas las observaciones hechas, basándose en la información numérica.

Ambas ramas (descriptiva e inferencial) se utilizan en la estadística aplicada. La estadística inferencial, por su parte, se divide en estadística paramétrica y estadística no paramétrica.

Existe también una disciplina llamada estadística matemática que establece las bases teóricas de las técnicas estadísticas. La palabra «estadísticas» se refiere al resumen de resultados estadísticos, habitualmente descriptivos, como en estadísticas económicas, estadísticas criminales, etcétera.

2.10.1 Métodos de representación en

estadística.

 

Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o cosas.

En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos o físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de “interpretación” de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico

Para  hacer una estadística se debe comenzar por conseguir todos los datos posibles acerca del asunto que se trata, cuantos más datos se reúnan, más fiel será la estadística. Una vez en posesión de estos datos y después de  clasificarlos rigurosamente se procede a la representación de los mismos, la cual puede hacerse por medio de tabuladores y de gráfico

 

2.10.2 Tabular.

Cuando los datos estadísticos se disponen en columnas que puedan ser leídas vertical y horizontalmente tenemos un tabular.

 

En el título del tabular se debe indicar su objeto y el tiempo, y el lugar a que se refiere, todo con claridad. los datos se disponen en columnas separadas unas de otras o rayas y encima de cada columna.  debe haber un  título que explique lo que la columna representa, las filas horizontales tiene también sus títulos. 

Los totales de las columnas van al pie de las  mismas, y los totales de las filas horizontales en su extremo derecho, generalmente. Los tabulares, según su índole, pueden ser de muy diversas formas y clases.

2.10.3 Gráficos.

Es una representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que guardan entre sí.

 

La Estadística gráfica  es una parte importante y diferenciada de una aplicación de técnicas gráficas, a la descripción e interpretación de datos e inferencias sobre éstos.

Por medio de gráficos se pueden representar toda clase de datos estadísticos gráficamente. Los gráficos estadísticos se pueden representar por medio de:

barras

círculos

líneas rectas o curvas

2.10.4 Barras.

 

 

2.10.5 Circular.

 

2.11 Líneas rectas o curvas. Gráficos por ejes coordenados.

 También se llaman gráficos por ejes coordenados, cuando en estadística se quieren expresar las variaciones de una cantidad en función del tiempo se emplea la representación gráfica por medio de ejes coordenados.